Comment fonctionne un miroir ?

Cet article fait partie d’une série d’articles sur la lumière.
Bien que ce ne soit pas nécessaire pour comprendre cet article, je vous en conseille la lecture si le sujet vous intéresse :

• Pourquoi la lumière va moins vite dans l’eau ou le verre ?
• Pourquoi la lumière se propage en ligne droite ?
• Pourquoi la vitesse de la lumière est-elle ce qu’elle est ?
• Comment fonctionne un miroir ? (le présent article)

J’avais déjà traité le sujet des miroirs autrefois, pour une autre question, à savoir la raison pour laquelle un miroir semble inverser la gauche et la droite mais pas le haut et bas. La raison est expliquée dans le lien, aussi aujourd’hui je ne parlerais pas de ça.

La question que je vais traiter ici est bien plus fondamentale et à vrai dire ce sont une série de questions que je me pose depuis tout petit :

• pourquoi l’angle de réflexion est-il identique à l’angle incident ?
• comment la lumière fait-elle pour savoir d’où elle vient et déterminer où elle va aller ?

Toutes ces questions raisonnent, mais j’en ai découvert la réponse que depuis récemment.

Non, la loi de Snell-Descartes n’est pas satisfaisante !

Il existe plusieurs lois de Snell-Descartes, l’une d’elles décrit la réflexion de la lumière sur une surface et dit que la lumière est réfléchie avec le même angle que l’angle incident :

La loi de Snell-Descartes dit tout simplement que l’angle d’incidence $\theta_i$ est égal à l’angle réfléchi $\theta_r$. Elle n’explique pas ce qui se passe.
Ok, la lumière réfléchie est symétrique, mais pourquoi ? Quel est le mécanisme responsable de ça ?

C’est à ça que je veux répondre.

La même remarque vaut pour le fameux principe de Fermat, qui dit que la lumière emprunte toujours le chemin le plus rapide. Ceci est vrai, mais c’est plus un constat qu’une explication du phénomène, et cela ne me satisfait donc pas plus.

Pourquoi une réflexion ? Comment ça se passe ? Pourquoi les métaux ?

Quand la lumière atteint un matériau, elle interagit avec les électrons de ce matériau. Ceci est vrai quel que soit le matériau : opaque, métallique, transparent, gazeux… Le rayon de lumière est absorbé puis réémis. L’électron est simplement dans un état excité après l’absorption de la lumière et il se désexcite en libérant une impulsion électromagnétique autour de lui (impulsion EM appelée « photon », ou « lumière ») :

Pour l’instant, on ne peut pas trop parler le « rayon réfléchi » ici : en effet, un électron seul ne suffit pas pour renvoyer la lumière incidente dans une direction donnée. Aussi c’est la raison pour laquelle il n’existe pas vraiment de miroir gazeux : les miroirs (tel qu’on l’entend dans la vie courante) sont toujours des surfaces solides ou liquides.
Un gaz ou une phase vaporeuse aura plutôt tendance à diffuser la lumière dans tous les sens. C’est ça qui donne sa couleur bleue au ciel à cause de la diffusion de la lumière par l’air ou blanche aux nuages, à cause de la vapeur d’eau.

Quand le phénomène précédent a lieu avec plusieurs rayons d’un même faisceau, alors les multiples ondes émises interfèrent. Ces interférences sont constructives selon une droite et globalement destructives partout ailleurs. Il se forme donc un front d’onde et c’est alors ça qui constitue le faisceau. Le faisceau se dirige dans le sens perpendiculaire au front d’onde.

Ceci explique le fait que la lumière se propage en ligne droite pour commencer, cf mon article dédié :

Certains matériaux absorbent la lumière : un tableau noir absorbe environ 95 % de la lumière. Le Vantablack® va jusqu’à absorber 99,99 % de la lumière est l’aspect est tel qu’il semble tout droit sorti d’un montage photo.
Dans ces cas-là, la réémission de la lumière se fait avec une autre longueur d’onde, généralement dans les infrarouges (invisibles à l’œil). Une partie de l’énergie est aussi perdue sous une autre forme au sein de l’atome, par exemple dans des vibrations molécules :

Ce qui différencie les miroirs des matériaux absorbant, c’est la proportion de lumière absorbée ou réfléchie : dans le cas des miroirs, la réflexion constitue la majeure partie du processus. Il y a une raison à cela : les miroirs sont métalliques.
Les métaux comportent des électrons libres, qui, même au sein d’une structure rigide ou cristalline, sont capables de se déplacer. À tel point que les électrons libres dans un métal se comportent comme une sorte de soupe d’électrons.

Quand un rayon électromagnétique arrive sur une surface métallique, les électrons libres peuvent intégralement compenser les champs électriques et magnétiques de l’onde incidente, et renvoyer tout ça dehors sans en absorber. Les électrons libres sont capables de renvoyer une large gamme de fréquences visibles. C’est pour ça que les métaux sont généralement gris-blancs et non colorés — sauf pour l’or, le cuivre, le laiton…
De plus, vu que la lumière ne pénètre pas dans un métal, ce dernier est opaque. Aucune lumière ne traverse le miroir de derrière et on voit exclusivement notre réflexion.

Pour résumer sur cette question : les métaux sont réfléchissants car leurs électrons libres se comportent comme un plasma, capable de renvoyer tous les rayons de lumière incidents tout en étant opaque au reste de la lumière.

Pourquoi l’angle de réflexion est identique à l’angle d’incidence ?

Il y a plusieurs façons de répondre à cette question. On entend parfois — en physique quantique — que la lumière emprunte tous les chemins possibles avant de ne prendre que celle qui est la plus rapide. Ceci voudrait dire que la lumière pense et sait calculer ? Non.

Selon la description classique, la lumière est bien émise dans toutes les directions, mais il n’y a que sur certains chemins que les interférences de tous ces rayons sont totalement constructives (et destructives partout ailleurs). L’équivalent en quantique serait que la probabilité qu’un photon soit quelque part est quasi-totale sur la ligne droite, et nulle partout ailleurs. Ces deux manières de penser sont équivalentes selon moi : elles expliquent la même chose, juste avec deux hypothèses différentes à propos de la nature de la matière.

Dans ce qui suit, je vais rester sur la méthode classique pour expliquer non seulement la présence de cet angle de réflexion mais aussi pourquoi il est là. La méthode que je vais expliquer n’est pas parfaite (j’y reviendrais) mais elle est facile à comprendre. Il s’agit de la méthode de Huygens, du nom du physicien Christiaan Huygens qui l’a mis au point au 17ᵉ siècle.

Imaginons un front d’onde (plusieurs rayons émis par plusieurs électrons) arrivant avec un certain angle $\alpha$ sur une surface réfléchissante :

À cause de l’inclinaison du front d’onde, certains rayons du faisceau arrivent avant les autres. Les premiers rayons vont être les premiers à aller exciter les électrons. Ces derniers vont absorber la lumière puis la réémettre.

Du coup, quand le dernier rayon arrive lui aussi sur son électron, les premiers électrons ont déjà commencé à produire une onde électromagnétique. L’onde réémise formera un cercle dont le rayon est égal à la distance séparant le dernier rayon de son électron au moment où le premier rayon arrive sur le sien :

Maintenant, tous les rayons du faisceau vont peu à peu arriver sur leur électron et produire de nouvelles ondes. Toutes ces nouvelles ondes vont interférer et former un nouveau front d’onde, celui de la réflexion. La perpendiculaire à ces fronts d’onde correspond à la direction de l’onde réfléchie :

Ou, en résumant et en ne dessinant que les directions des faisceaux :

On montre avec un peu de géométrie que les deux angles $\alpha$ et $\alpha'$ sont égaux quelle que soit leur valeur.

D’un point de vu physique, cela revient à dire que la somme globale des interférences est non-nulle uniquement pour un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence.

Limites de la méthode Huyghens

Cette méthode de Huygens fonctionne pour toutes les ondes (sonores, lumineuses, ondes sismiques…) et est relativement parlante. Elle explique également beaucoup d’autres choses : sillage de Kelvin, rayonnement Cherenkov, diffusion de Rayleigh…

Je l’ai dit plus haut, cette méthode n’est pas parfaite cependant. En effet, sur mon schéma plus haut, je n’ai tracé que les premiers cercles émis par le rayon incident. Du coup, le front d’onde est clairement dirigé vers la droite, et surtout, il n’y en a qu’un seul. Si l’on trace tous les cercles émis par les différences crêtes de l’onde incidente, alors il y a plusieurs droites où elles interfèrent de façon constructive. On devrait donc observer plusieurs rayons distincts. Certains cristaux le font (les saphirs étoilés par exemple), mais ce n’est pas ce qu’on observe dans le cas général d’un miroir simple.

On peut s’en sortir en disant qu’il ne faut considérer que les interférences du côté extérieur du miroir et éliminer certaines ondes qui ne vont pas dans la bonne direction (vis-à-vis de la conservation de l’énergie, par exemple), mais mathématiquement, la méthode de Huygens n’explique pas tout.

Solution plus générale, avec les équations de Maxwell

Une méthode plus correcte (qui explique davantage de choses) basée sur les équations de Maxwell et faisant intervenir les vecteurs d’ondes permet de retrouver (pour un milieu isotrope) une seule et unique solution.

Cette explication utilise l’astuce selon laquelle un vecteur d’onde a une composante tangentielle et une composante perpendiculaire, ou « normale ». Ce que ça veut dire, c’est que pour aller en bas à droite, il faut aller en bas (composante perpendiculaire au miroir) puis à droite (composante tangentielle au miroir).

Dans ce cadre-là, celui de Maxwell, les ondes incidentes et les ondes réfléchies ont une composante tangentielle identique ($T_i = T_r$), mais une composante normale opposée ($N_i = -N_r$) :

La cause physique de cette opposition est une question de la nature du matériau. À l’échelle de l’électron, les matériaux sont tous conducteurs : l’électron peut vibrer, et ça constitue en soi un mouvement d’électron, donc un courant électrique, même si ce n’est que très local. Pour les métaux, cette propriété s’étend à l’échelle des atomes et de la structure cristalline toute entière.

Dans le cas d’une onde incidente, la composante tangentielle (parallèle à la surface) ne passe pas dans le métal (il reste parallèle) et ne réagit donc pas : à l’endroit où la lumière tape sur le métal, donc, la composante tangentielle n’est pas modifiée. Sur l’image précédente, c’est pour ça que les flèches $T_i$ et $T_r$ vont dans le même sens : ondes incidente et ondes réfléchies vont toutes les deux de gauche vers la droite.

La composante normale, en revanche, tape directement sur la surface du métal. Or, comme le métal produit un champ électrique totalement opposé, le champ électrique est renvoyé vers l’extérieur dans l’autre sens. C’est pour cela que, sur l’image précédente toujours, $N_i$ et $N_r$ sont de sens contraires.

De plus, comme la lumière reste dans le même milieu (l’air, par exemple) et qu’il n’y a pas de perte d’énergie, la lumière est seulement renvoyée dehors, pas modifiée (ni en fréquence ni en direction).

Pour les non-métaux, la conductivité n’est pas aussi importante. Du coup, le champ électrique est incident est moins compensé et une partie de la lumière peut pénétrer dans la matière où elle est soit absorbée et convertie en chaleur, soit réfractée et ralentie. Mais, ça c’est pour un autre article !

Conclusion et références

Ce sujet est très vaste et très délicat quand on cherche à simplifier les explications sans pour autant vouloir sombrer dans le faux. De plus, l’apparente dualité onde-corpuscule de la lumière ne simplifie pas les choses : on est sans cesse confronté à l’envie de passer d’un modèle à l’autre. J’aurais pu faire ça (il n’y aurait rien de faux), mais ça aurait été encore plus confus.

Il y a de multiples façons d’expliquer les phénomènes optiques et de les décrire : équations de Maxwell, l’électrodynamique quantique, la conservation de l’énergie, le principe de Fermat, les lois de Snell…

Dans cet article, j’ai surtout voulu éviter les démonstrations mathématiques barbantes. Comme toujours, je souhaite essayer d’expliquer les choses de façon physique, matérielle : « comment ça marche réellement ? ».

Les équations et les maths servent à décrire les choses formellement et précisément, mais tout le monde n’a pas le temps de comprendre une série d’équation de Maxwell impliquant des vecteurs d’ondes complexe à l’interface de deux milieux. Tout le monde peut en revanche imaginer ou voir un atome vibrer et émettre de la lumière.

C’est pour ça que, même si la méthode de Huygens n’est pas parfaite, elle pose les bases et j’ai choisi de la laisser dans cet article, en précisant bien qu’elle n’est pas exacte.

Ma petite série d’articles sur la lumière n’est pas finie cela dit, et d’autres articles vont bientôt être publiées.

En attendant, je vous invite (sur vous voulez) à lire les autres articles, les liens se trouvant tout en haut de l’article.

De même, pour élargir le sujet, je vous renvoie vers ces références :

• Micron thick steel wool in a microwave and how mirrors work - YouTube
• The Open Door Web Site : IB Physics : WAVES : HUYGENS' PRINCIPLE
• Maxwell’s Equations
• Maxwell’s Equations and Electromagnetic Waves
• When a light ray hits a tilted mirror (mirror is at an angle), how will it reflect off the mirror?
• Why is the light reflected at the same angle from mirror?
• Réflexion et réfraction
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 33: Reflection from Surfaces
• Quantising the electromagnetic field near two-sided semi-transparent mirrors

… et ces livres :

• Lumière et matière - Une étrange histoire de Richard Feynman (à lire absolument)
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field de James Clerk Maxwell

Image d’en-tête : travail personnel

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