Comment est fixée la date de Pâques ?

Contrairement à la date de Noël qui tombe toujours le 25 décembre pour des raisons astronomiques, la date de Pâques dans le calendrier chrétien ne tombe pas sur une date fixe. Cette fête religieuse a une date fixée en fonction de plusieurs astres dont les périodes orbitales et apparentes ne sont pas synchronisées.

Ainsi, si Noël est fixé en fonction des mouvements du Soleil dans le ciel, la date de Pâques est liée aux mouvements du Soleil mais aussi à ceux de la Lune. Pâques est également lié au calendrier civil vu qu’il doit tomber un dimanche.

Sa définition est :

Pâques est le dimanche qui suit le 14ᵉ jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après.

Si l’on décompose cette phrase, cela donne :

• considérer le 21 mars (correspondant à peu de choses près à l’équinoxe de printemps) ;
• prendre la première pleine lune suivant cette date (la pleine lune étant fixée à 14 jours après la nouvelle lune) ;
• prendre le dimanche juste après cette pleine lune.

Or, tout comme une année civile ne correspond pas tout à fait à une année solaire, les mouvements de la Lune ne sont pas non plus réguliers au cours d’une année solaire : le nombre de lunes n’est pas entier au cours d’une année solaire, qui lui-même ne dure pas exactement une année civile. Vous suivez ?

Par conséquent, pour calculer la date de pâques de façon mathématique pour une année donnée, le calcul devient très vite très compliqué !

Historiquement, la religion avait une place centrale dans la culture occidentale. Il suffit de voir que notre calendrier est celui de l’ère chrétienne. Le calcul des dates des fêtes chrétiennes (censées unir toute la société, historiquement) était donc quelque chose de très important au cours de l’Histoire.
Aussi, de nombreuses tentatives pour trouver une formule mathématique donnant la fête de Pâques ont été faites, y compris par de très illustres scientifiques mathématiciens (telles que Gauss), avec plus ou moins de succès.

Aujourd’hui, la date est fixée par une méthode moderne, découlant de notre meilleure compréhension des cycles solaires et lunaires.

Dans cet article, je vais d’abord expliquer une méthode tabulaire, puis donner l’exemple pour une année donnée, en expliquant les calculs. Même si la fête de Pâques ne vous intéressait pas plus que ça (comme c’est mon cas : j’en profite juste par le chocolat :D), cet article peut tout de même vous intéresser pour le côté historique ou astronomique de la fixation d’une date au sein du calendrier.

Calendrier grégorien ?

Pour commencer, je ne considérerai que les dates après 1582. En effet, c’est en cette année que le Pape Grégory XIII imposa une redéfinition du calendrier, qui était alors le calendrier julien, imposé à son époque par Jules César au sein de tout son empire.
César avait déjà placé des années bissextiles une fois tous les quatre ans, pour compenser les 6 heures de décalage accumulés tous les ans.

Le problème c’est que le correctif de César n’est pas exact : en réalité, l’accumulation annuelle n’est pas de 6 heures, mais plus proche de 5 h 49 min et 12 secondes. Dit autrement, le calendrier julien avançait 10 minutes trop vite chaque année, soit 1 heure tous les 6 ans.
Cela ne semble pas énorme, mais entre l’époque de Jules César et 1582, cela représentait 13 jours ! L’Église avait remarqué ça, et en particulier le décalage de la date de Pâques de plus en plus loin dans l’année, chaque année. Pour une fête printanière, ceci était inacceptable.

Le Pape Grégory XIII a donc décidé de transformer cette règle « un jour tous les quatre ans » en une nouvelle règle, plus compliquée, mais plus exacte : «  une année sur quatre, sauf une année sur cent, mais en tenant en compte tout de même une année sur quatre-cent ». Je vous laisse voir ça dans mon article sur le sujet : Les années bissextiles, pourquoi ? comment ?.

Ce calendrier grégorien était un peu plus proche de la mécanique céleste, mais comme il était décalé avec le calendrier julien, il a fallu corriger la méthode de calcul de Pâques utilisée depuis plus d’un millénaire et demi.

La mécanique céleste, d’ailleurs, n’a pas grand-chose de régulier, et les calculs qui en découlent sont complexes, et évidemment cela se répercute dans les calculs de la date de Pâques.

Les constantes utiles

La mécanique céleste présente plusieurs « nombres » attribués pour une année donnée et dont la valeur va intervenir dans la détermination de la date de Pâques. À savoir :

• l’épacte et le cycle de Méton
• la proemptose (ou équation lunaire)
• la métemptose (ou équation solaire)
• le jour dominical (lié à notre calendrier civil)

Expliquons des termes sans plus attendre.

L’épacte

L’épacte est le nombre de jours séparant le début du cycle lunaire avec le début du cycle solaire, pour une année donnée. Cela correspond au jour de la Lune (entre 0 pour la nouvelle lune et 28 pour le dernier jour du dernier croissant) au moment du jour de l’An.

L’épacte se calcule grâce au cycle de Méton.

Le cycle de Méton

Pâques faisant intervenir la Lune et le Soleil, il faut trouver une période après laquelle ces deux astres et la Terre se retrouvent dans la même configuration.

Les cycles lunaires et solaires ne sont pas multiples l’un de l’autre. Ceci dit, à 19 cycles solaires correspondent presque 235 cycles lunaires. C’est Méton d’Athènes qui remarqua cela. Tous les 19 ans, donc, les dates des phases de la Lune se retrouve à la même date. Cela est pratique pour le calcul des fêtes et événements liés aux phases de la Lune, comme Pâques. Plus pratique, en tout cas, que de n’avoir pas de régularité du tout.

L’épacte julienne, puis grégorienne

Vu que le cycle de Méton dure 19 ans avant de reboucler, il y avait 19 valeurs possibles pour l’épacte, compris entre 0 à 29 et qui sont dans l’ordre : 8, 19, 0, 11, 22, 3, 14, 25, 6, 17, 28, 9, 20, 1, 12, 23, 4, 15, 26, puis c’est de nouveau 8, 19, 0, 11…
L’épacte de l’an 1 était 19, qui n’a rien à avoir le « 19 ans » du cycle de Méton.

Pour une année donnée, on trouve son épacte grégorienne en trouvant son épacte julienne d’abord, puis en ajoutant des corrections grégoriennes appropriées, que sont la proemptose et la métemptose.

La proemptose

Le cycle de Méton, quoique simple, n’est pas parfait.
Tous les 312,5 ans, le cycle de Méton se voit allongé d’un jour (c’est donc comme une année bissextile, mais pour le cycle de la Lune et tous les 312,5 ans).

Dans une vie, un jour tous les 312,5 ans est insignifiant, mais sur un calendrier plurimillénaire, le décalage finit par se voir. La proemptose correspond à un correctif pour ce décalage.

Le calcul de la proemptose revient à ajouter un jour au cycle de Méton tous les trois siècles, sauf au bout de la septième fois (donc après 7 fois 3 siècles), où l’on attend alors quatre siècles. Ainsi, on ajoutera le jour supplémentaire après 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800 et 2200 ans, au lieu de faire ça après 312,5, 625, 937,3, 1250 ans, etc.

Ceci est bien équivalent à ajouter 8 jours tous les 2 500 ans, mais permet de les ajouter au début d’un siècle, et non au milieu. Dans l’ensemble, cela correspond bien à une moyenne de 1 jour tous les 312,5 ans et corrige suffisamment le cycle de Méton pour les quelques milliers d’années à venir.

La métemptose

Parallèlement, par rapport au calendrier julien, le calendrier grégorien retire trois années bissextiles tous les 400 ans. Il fait cela sur les années séculaires. Ainsi, les années 1700, 1800 et 1900 n’étaient pas bissextiles, alors qu’ils l’auraient été dans le calendrier julien (les années 1600 et 2000 sont eux restés bissextiles). Il faut en tenir compte à l’aide d’un autre correctif : la métemptose.
Fondamentalement, ce correctif est lié à l’année solaire seulement, mais il agit mathématiquement sur le cycle de Méton, et donc sur Pâques.

La proemptose ajoutant un jour de temps en temps et la métemptose en soustrayant un, les deux peuvent se compenser pour certains siècles.
Le cycle de Méton, la proemptose et la métemptose servent à calculer l’épacte, qui est la première valeur utile pour déterminer Pâques : c’est lui qui va en fait nous donner la date de la première lune du printemps.

Ayant fait ça, il reste à déterminer la position du premier dimanche après ça, et pour ça, il faut calculer la Lettre Dominicale (« dominical » désignant évidemment « dimanche »).

La lettre dominicale

Il s’agit d’une lettre, A, B, C, D, E, F ou G correspondant au dimanche dans le calendrier d’une année donnée. En pratique, on donne les lettres A, B, C, D, E, F et G aux sept premiers jours d’une année et on regarde laquelle de ces jours est le dimanche : on note alors sa lettre.

Si l’année débute par un dimanche, alors la lettre dominicale est A. Si l’année débute un samedi, la lettre de dimanche sera B ; pour un jour de l’an tombant un vendredi, ce sera C, etc. Mathématiquement, son calcul est assez simple pour les années grégoriennes.

Une fois qu’on a la lettre dominicale, en plus de l’épacte, on trouve la date de Pâques.

Table des dates de Pâques

Si l’on a à la fois l’épacte d’une année et sa lettre dominicale, il suffit de chercher dans une table perpétuelle pour connaître la date de Pâques. La table figure un peu plus bas dans cet article.

Maintenant qu’on a posé ces bases, voyons un exemple, où l’on calculera la date de pâques pour une année. Si vous voulez, je vous invite à essayer pour l’année de votre choix, et de vérifier ensuite la date de Pâques avec un calendrier « officiel ».

Exemple

Calculons Pâques pour l’année où j’ai publié cet article : 2020.
Dans ce qui suit, je vais aussi expliquer d’où viennent les formules, par l’exemple avec 2020, donc.

Calcul de l’épacte pour 2020

L’épacte, je le rappelle, c’est l’écart entre le début de l’année civile et le début de la première nouvelle Lune de cette année civile. La méthode consiste à calculer l’épacte julienne, puis à appliquer les correctifs grégoriens : on obtient alors l’épacte grégorienne.

Calcul de l’épacte julien pour 2020

Tout d’abord, rappelons le cycle de Méton : tous les 19 ans, les cycles solaire et lunaire rebouclent. L’écart entre les calendriers solaires et lunaires est donc identique pour deux années séparées de 19 ans. Mathématiquement, cela revient à prendre le reste de la division entière de l’année par 19. Pour 2020, ça fait 6. 2020 aura donc le même épacte julien que la 6ᵉ année dans le cycle de Méton.

Ensuite, il faut savoir que le calendrier lunaire calendaire dure 354 jours (355 lors des années bissextiles), soit 11 jours de moins que le calendrier solaire. Pour chacun des 6 années ci-dessus, on doit donc décaler l’épacte de 11 jours. On multiplie donc 6 par 11 : cela donne 66.

Puis, l’épacte de l’an 1 était 8. Il faut donc ajouter 8 à notre résultat : 66+8 = 74.

Enfin, vu que le mois lunaire synodique dure 30 jours calendaires, on retrouve la même lune tous les 30 jours. On peut donc prendre le reste de la division entière de 74 par 30 : cela donne 14.

Ce nombre, 14, est notre épacte julienne pour 2020.

La formule complète (où $\textbf{A}$ est l’année et $\textbf{E}_j$ l’épacte julienne et où ${}\mod{}$ est l’opération « modulo », donnant le reste de la division entière : $10 \mod 3$ est le reste de la division entière de 10 par 3, ce qui donne 1) :

$$\textbf{E}_j = \left((\textbf{A} \mod 19 ) \times 11 + 8 \right) \mod 30$$

Maintenant il faut calculer les correctifs pour le calendrier grégorien.

Calcul de la proemptose

Rappel : il s’agit d’un décalage d’un jour à ajouter au cycle de Méton tous les 312,5 ans. Conventionnellement, on ajoute cette journée en début de siècle tous les 300 ans, sauf la septième fois, où on fait ça après 400 ans.
Après 6×300+400 = 2 500 ans, on aura ajouté 8 jours, et 2 500/8 = 312,5. On retombe donc sur nos pieds.

Pour la proemptose, il s’agit donc de trouver combien de jours ont ainsi été ajoutés depuis l’année 1582. La première proemptose date de 1 800. La seconde sera en 2 100. On sait déjà que pour 2 020 ça sera 1, mais je donne tout de même la formule.

Vu qu’on travaille sur des siècles seulement, va garder le numéro de siècle de l’année en cours : il s’agit de la partie entière de l’année divisée par 100 : ⌊2020/100⌋ = 20. Ensuite, on multiplie par 8 (le 8 du « 8 jours tous les 2 500 ans ») : cela donne 160.

On ajoute 13 à ça : cela correspond aux 10 jours supprimés par le calendrier grégorien plus les 3 jours de proemptose entre le VIᵉ siècle et 1582 (ce n’est qu’au VIᵉ siècle seulement qu’on s’est mis à incrémenter les années ; historiquement, l’an 1 a été anti-daté à partir de là). On obtient 173.

Enfin, on divise ce résultat par 25, comme dans « 25 siècles dans 2 500 ans », et l’on garde la partie entière : ⌊173/25⌋ = 6.

On retire 5 à tout ça, car la proemptose entre l’an 1 et l’an 1583 est 5 : ceci donne 1.

La proemptose pour 2020 est 1.

La formule complète (où $\textbf{A}$ est l’année et $\textbf{P}$ la proemptose) :

$$\textbf{P} = \left⌊ \frac{\left( \left⌊ \frac{\textbf{A}}{100}\right⌋ \times 8 + 13 \right)}{25}\right⌋ - 5$$

On a la proemptose. Il nous faut la métemptose maintenant.

Calcul de la métemptose

Rappel : il s’agit d’un correctif entre le calendrier julien et grégorien correspondant aux années bissextiles en trop que le calendrier julien a compté. Après 1582 ans, le décalage était de plus de 10 jours et n’était plus acceptable pour l’Église.

Les années bissextiles que le calendrier grégorien ne compte pas sont les années séculaires (début de siècle), trois fois sur quatre. On va donc de nouveau travailler uniquement sur les siècles : le siècle pour 2020 est ⌊2020/100⌋ = 20.

Maintenant, il faut compter le nombre d’années séculaires non bissextiles qui ont eu lieu. Facile : les 3/4 des siècles sont dans ce cas. Il faut donc retirer 1/4 des siècles à 20, soit 5, et il reste donc 15.

À ce résultat sont retirées 12 jours correspondant aux jours déjà inclut dans le correctif mis en place par la réforme du calendrier grégorien : 15−12=3.

La métemptose pour 2020 est donc 3.

La formule complète (où $\textbf{A}$ est l’année et $\textbf{M}$ la metemptose) :

$$\textbf{M} = \left⌊ \frac{\textbf{A}}{100}\right⌋ - \left⌊ \frac{\textbf{A}}{100} \frac{1}{4}\right⌋ - 12$$

Maintenant qu’on a ça, on peut calculer l’épacte.

Résultat pour l’épacte de 2020

La différence entre l’épacte julienne et grégorienne était de 23 jours en 1582.
À l’épacte julienne, on ajoute donc 23. On lui ajoute aussi la proemptose (décalage lunaire) mais on soustrait la métemptose (décalage solaire, qui est dans l’autre sens).

Pour 2020, ça fait donc 14+23+1−3 = 35.

Comme le cycle lunaire synodique dure 30 jours, on retire 30 autant de fois qu’il faut : on prend donc le reste de la division de ce nombre par 30. Cela donne 5.

L’épacte de 2020 est 5.

Le calcul :

$$\textbf{E} = \left( \textbf{E}_j + 23 + \textbf{P} - \textbf{M} \right) \mod 30$$

Bon, l’épacte c’est fait, il reste la lettre dominicale.

Détermination de la lettre dominicale pour 2020

Comme expliqué plus haut, la lettre dominicale incrémente d’un jour tous les ans car les années font un nombre entier de semaines (52) plus un jour. La seule complication vient des années bissextiles : dans ces cas-là, la lettre dominicale entre le 1ᵉʳ janvier et le 29 février est incrémenté de 1, et la lettre dominicale du reste de l’année est incrémentée de deux.

Vu que la fête de Pâques est toujours située après le 29 février, il convient d’incrémenter de deux lors des années bissextiles et de 1 les années communes (non bissextiles). Vu que ce qui nous intéresse est le calcul manuel de la date de Pâques, on conservera seulement la partie du calcul qui donne la lettre pour la fin de l’année, pas pour janvier et février des années bissextiles.

Si on résume ça mathématiquement : chaque année, la lettre dominicale incrémente de 1. Tous les 4 ans, elle incrémente de 2. Or, connaissant la règle des années séculaires pour les années bissextiles, on comprend qu’il faille retirer cette journée supplémentaire pour les années de nouveau siècles ayant précédé l’année, mais de nouveau l’ajouter pour les années divisibles par 400 ayant précédé l’année. On conservera ensuite le reste de la division entière par 7, qui correspondra alors au jour dominical.

Pour 2020, il faut donc additionner :

• 2020 (une incrémentation par an)
• − 1 car les années ont débuté à 1, pas à 0
• + la partie entière de 2020÷4 : ⌊2020/4⌋, soit 505
• − la partie entière de 2020÷100 : ⌊2020/4⌋, soit 20
• + la partie entière de 2020÷400 : ⌊2020/400⌋, soit 5

… ce qui donne 2020−1+505−20+5 = 2509.

On prend le modulo 2509 par 7, ce qui fait 3. L’ordre des 7 lettres et des 7 chiffres est inversé. Pour remettre ça dans l’ordre, on retire cette valeur à 7, donc 7−3 = 4. La lettre dominicale est donc la quatrième lettre de l’alphabet, soit D. La lettre dominicale de 2020 est D.

(Comme je l’ai dit, cette lettre est celle des dix derniers mois de l’année. Pour janvier et février, la lettre dominicale est augmentée de un, soit E. Sur les calendriers, vous trouverez donc que la lettre dominicale de 2020 est « ED »)

Finalement, tout ceci nous réduit énormément les calculs, car il ne reste alors qu’une seule formule (où $\textbf{L}_d$ est la lettre dominicale et $\textbf{A}$ l’année) :

$$\textbf{L}_d = 7- \left( \left( \textbf{A} - 1 + \left⌊ \frac{\textbf{A}}{4}\right⌋ - \left⌊ \frac{\textbf{A}}{100}\right⌋ + \left⌊ \frac{\textbf{A}}{400}\right⌋ \right) \mod 7 \right)$$

Le chiffre obtenu est alors à remplacer par sa lettre correspondante :

Résultat	Lettre dominicale
1	A
2	B
3	C
4	D
5	E
6	F
7	G Détermination de la date de Pâques pour 2020 Enfin, il suffit de regarder dans la table suivante : Épacte Lettre dominicale ↓ A B C D E F G 0 16 avr. 17 avr. 18 avr. 19 avr. 20 avr. 14 avr. 15 avr. 1 16 avr. 17 avr. 18 avr. 19 avr. 13 avr. 14 avr. 15 avr. 2 16 avr. 17 avr. 18 avr. 12 avr. 13 avr. 14 avr. 15 avr. 3 16 avr. 17 avr. 11 avr. 12 avr. 13 avr. 14 avr. 15 avr. 4 16 avr. 10 avr. 11 avr. 12 avr. 13 avr. 14 avr. 15 avr. 5 9 avr. 10 avr. 11 avr. 12 avr. 13 avr. 14 avr. 15 avr. 6 9 avr. 10 avr. 11 avr. 12 avr. 13 avr. 14 avr. 8 avr. 7 9 avr. 10 avr. 11 avr. 12 avr. 13 avr. 7 avr. 8 avr. 8 9 avr. 10 avr. 11 avr. 12 avr. 6 avr. 7 avr. 8 avr. 9 9 avr. 10 avr. 11 avr. 5 avr. 6 avr. 7 avr. 8 avr. 10 9 avr. 10 avr. 4 avr. 5 avr. 6 avr. 7 avr. 8 avr. 11 9 avr. 3 avr. 4 avr. 5 avr. 6 avr. 7 avr. 8 avr. 12 2 avr. 3 avr. 4 avr. 5 avr. 6 avr. 7 avr. 8 avr. 13 2 avr. 3 avr. 4 avr. 5 avr. 6 avr. 7 avr. 1 avr. 14 2 avr. 3 avr. 4 avr. 5 avr. 6 avr. 31 mars 1 avr. 15 2 avr. 3 avr. 4 avr. 5 avr. 30 mars 31 mars 1 avr. 16 2 avr. 3 avr. 4 avr. 29 mars 30 mars 31 mars 1 avr. 17 2 avr. 3 avr. 28 mars 29 mars 30 mars 31 mars 1 avr. 18 2 avr. 27 mars 28 mars 29 mars 30 mars 31 mars 1 avr. 19 26 mars 27 mars 28 mars 29 mars 30 mars 31 mars 1 avr. 20 26 mars 27 mars 28 mars 29 mars 30 mars 31 mars 25 mars 21 26 mars 27 mars 28 mars 29 mars 30 mars 24 mars 25 mars 22 26 mars 27 mars 28 mars 29 mars 23 mars 24 mars 25 mars 23 26 mars 27 mars 28 mars 22 mars 23 mars 24 mars 25 mars 24 23 avr. 24 avr. 25 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 22 avr. 25 23 avr. 24 avr. 25 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 22 avr. 26 23 avr. 24 avr. 18 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 22 avr. 27 23 avr. 17 avr. 18 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 22 avr. 28 16 avr. 17 avr. 18 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 22 avr. 29 16 avr. 17 avr. 18 avr. 19 avr. 20 avr. 21 avr. 15 avr. Date de Pâques grégoriennes Pour une épacte de 5 et une lettre dominicale de D, on trouve que Pâques en 2020 tombera le 12 avril, ce qui est bien la date affichée sur le calendrier. Calcul algorithmique de la date de Pâques On pourrait implémenter tout ce qui précède dans un programme : les calculs en eux-mêmes sont simples et il n’y a que des opérations très basiques (incluant la partie entière et le modulo). Le plus gros souci restera plutôt le tableau final : ce dernier est une constante qui ne peut pas se calculer. Il faudra l’intégrer directement dans le code et s’y référer après les calculs. Ceci dit, les explications données plus haut avaient surtout pour but d’expliquer les méthodes que j’ai pu trouver en ligne, mais où les différentes constantes semblaient sorties de nulle part. Si vous trouviez les calculs imbuvables, j’espère avoir éclairé un peu tout ça : les chiffres et les valeurs d’ajustement ont bien une origine logique ! Une méthode algorithmique (sans tableau) existe et est donnée sur cette page de Wikipédia. Vous pouvez l’implémenter, c’est assez simple. Autrement, il suffit d’être observateur pour y retrouver certaines constantes ou formules correspondent à la proemptose, ou à la métemptose. On retrouve aussi le « 19 » du cycle de Méton, par exemple. La beauté du truc ici, c’est qu’il n’y a pas de tableau dans lequel reporter l’épacte et la lettre dominicale. Le calcul final donne directement le mois (en dividende) et le jour (en reste) d’une division d’un résultat intermédiaire par un autre. C’est assez brillant comme méthode, même si j’avoue que je n’ai pas encore tout élucidé moi-même. Conclusion Au départ, je souhaitais expliquer la date de Pâques, comme j’ai fait pour la date de Noël pour laquelle je tenais à dire que c’était bien une fête astronomique. Pour Pâques, j’ai fini par détailler les calculs, à l’origine pour moi-même, car je n’aime pas avoir des calculs où tout n’est pas clair. Quoi qu’il en soit, on voit que les calculs sont relativement simples : il faut juste éviter de se perdre et surtout de ne pas oublier une constante ou un élément du calcul, ou de la compter plusieurs fois. Il existe des pendules qui font tous ces calculs mécaniquement : ce sont les comput ecclésiastique. En sortie d’un grand nombre de roues dentées figurent des cadrants et des aiguilles qui donnent alors la lettre dominicale et l’épacte ainsi que quelques autres constantes propres au calendrier chrétien. Il en existe encore, comme dans la cathédrale de Strasbourg, au sein de l’horloge astronomique. Enfin, vu qu’on est dans les fêtes chrétiennes, sachez que l’Ascension est fêté 40 jours après Pâques, et la Pentecôte 10 jours après l’Ascension. C’est donc la date de Pâques qui fixe les deux autres. image d’en-tête de Gary Bendig

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